'Случайности не случайны'. Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье. Что такое теория вероятности? Теория вероятности – это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события. Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой».

1. Теория Вероятности
2. Шпаргалки По Теории Вероятности И Математической Статистике Формулы

Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1.

Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Шпаргалки по теории. Основные понятия теории вероятности. Вероятностей по формуле. Шпаргалки по теории вероятностей,подробные примеры решения задач по теории вероятностей.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении. Со страниц истории Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр. Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой.

Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали и Пьер Ферма.

Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу. Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов. Базовые понятия теории вероятностей.

События Главным понятием этой дисциплины является 'событие'. События бывают трех видов:. Достоверные.

Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет). Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе). Те, что произойдут или не произойдут.

На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:. А = «студенты пришли на лекцию». Ā = «студенты не пришли на лекцию». В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или в которых смещен центр тяжести. Еще события бывают совместимыми и несовместимыми.

Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:. А = «студентка пришла на лекцию». В = «студент пришел на лекцию». Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого.

Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте. Действия над событиями События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ». Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно.

В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В. Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1: Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:. А = «фирма получит первый контракт».

А 1 = «фирма не получит первый контракт». В = «фирма получит второй контракт». В 1 = «фирма не получит второй контракт». С = «фирма получит третий контракт». С 1 = «фирма не получит третий контракт». С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:. К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС. М = «фирма не получит ни одного контракта». М = А 1В 1С 1. Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий.

Н = А 1ВС 1υ АВ 1С 1 υ А 1В 1С. А 1ВС 1 – это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности».

Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно. Собственно, вероятность Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события – это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:. классическое;. статистическое;. геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:. Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n. Р обозначает А. А – собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1. M – количество возможных благоприятных случаев.

Теория Вероятности

N – все события, которые могут произойти. Например, А = «вытащить карту червовой масти».

В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид: Р(А)=9/36=0,25. В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами. Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n(A). Формула ничем не отличается от классической: W n(A)=m/n. Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая – согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара». W n(A)=97/100=0,97 Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С. Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт – это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36! Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой. В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу. Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз.

И без повторений, когда элементы не повторяются. N - это все элементы, m – элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид: A n m=n!/(n-m)! Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n! Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество.

Формула будет иметь вид: A n m=n!/m!(n-m)! Формула Бернулли В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень.

Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях. Уравнение Бернулли: P n(m) = C n m×p m×q n-m. Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше.

Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q. Q=1-p Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица – это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q – число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее. Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку? Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли. А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8. N = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут).

В итоге получим решение: P 6(0) = C 0 6×p 0×q 6=q 6= (0,8) 6 = 0,2621. Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621. Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой: C n m = n! Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями. P 6(2) = C 6 2×p 2×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246. Не так уж и сложна теория вероятности.

Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство. Формула Пуассона Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Если вы сотворите что-нибудь в таком духе, прочтёте какую-нибудь шутку. Но в конце игры, возможно, вы поплатитесь за это. Black and white 2 секретный тигр. Серебряный свиток #3: Поющие камни. В пятой земле они должны вернуться и помочь вам.

Основная формула: P n(m)=λ m/m! При этом λ = n х p.

Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3: На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей? Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности).

Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные: А = «случайно выбранная деталь будет бракованной». Р = 0,0001 (согласно условию задания). N = 100000 (количество деталей). M = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем: Р 100000(5) = 10 5/5! Х е -10 = 0,0375. Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е.

По сути его можно найти формулой: е -λ= lim n -∞(1-λ/n) n. Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа: Р n(m)= 1/√npq x ϕ(X m). X m = m-np/√npq. Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже. Задание 4: Рекламный агент раздает 800 листовок. Согласно статистическим исследованиям, каждая третья листовка находит своего потребителя. Какова вероятность того, что сработает ровно 267 рекламных листовок?

N = 800; m = 267; p = 1/3; q = 2/3. Сначала найдем X m, подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу: Р 800(267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03. Таким образом, вероятность того, что сработает ровно 267 раз, составляет 0,03. Формула Байеса Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним.

Основная формула имеет следующий вид: Р (А B) = Р (В А) х Р (А) / Р (В). А и В являются определенными событиями. Р(А B) – условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно. Р (В А) – условная вероятность события В. Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже. Задание 5: На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором – 60%, на третьем – 15%.

Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй – 4%, и у третьей – 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным. А = «случайно взятый телефон». В 1 – телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим: Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 – таким образом мы нашли вероятность каждого варианта. Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах: Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02; Р(А/В 2) = 0,04; Р (А/В 3) = 0,01. Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим: Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

Шпаргалки по теории вероятностей.: случайные события, теорема Бернулли, формулы комбинаторики. Вероятность того, что книга, которая интересует студента в библиотеке учебных пособий, равна 0.5. Вероятность того, что она в научной библиотеке - 0,9. С обеих библиотек 40% выдано на руки студентам. Найти вероятность того, что студент получит нужную ему книгу.

Q=1-0.4=0.6 - вероятность того, что книга в библиотеке. Вероятность того, что в библиотеке имеется нужная книга P1=0.6.0.9=0.54 С учетом интересов студента (0.5) и двух библиотек, искамая вероятность равна P=2.0.5.0.54=0.54 Пример №2. Экзамен состоит из 6 вопросов, которые задает компьютер. На каждый вопрос предлагают 3 варианта ответов, из которых надо выбрать один правильный. Какова вероятность того, что совершенно не готовясь к экзамена удастся угадать правильные ответы как минимум на 5 вопросов? Вероятность правильного ответа из трех вопросов равна p=1/3.

Тогда вероятность ответить на 5 вопросов равна: P=(1/3) 5 = 0.004115 Пример №3. В связке 7 ключей, только одним из которых можно открыть дверь. Наугад выбирается ключ и делается попытка открыть дверь. Ключ оказавшийся не подходящим не возвращается в связку.

Найти вероятность, что дверь откроется не более чем за три попытки. Вероятность открыть дверь при первой попытке: p 1= 1/ 7 Вероятность открыть дверь при второй попытке: p 2= 1/ 6 Вероятность открыть дверь при третьей попытке: p 3= 1/ 5 Тогда вероятность, того, что дверь откроется не более чем за три попытки равна: P = 1/ 7 + (1- 1/ 7).1/ 6 + (1- 1/ 7).(1- 1/ 6).

Шпаргалки По Теории Вероятности И Математической Статистике Формулы

1/ 5 = 0.4286.